Решение задач симплекс-методом
Решение задач симплекс-методом
7
ЗАДАЧА 1
Составить модель оптимального выпуска продукции для цеха кондитер-ской фабрики. Виды выпускаемой продукции (М), виды основного сырья (П) и его запасы, нормы расхода сырья на единицу, уровни прибыли приведены в таб-лице. Рассчитать план и провести его анализ.
Виды сырья
|
Расходы сырья на единицу
продукции
|
Общий запас
сырья, ед.
|
|
|
М1
|
М2
|
М3
|
|
|
П1
|
2
|
4
|
3
|
266
|
|
П2
|
1
|
3
|
4
|
200
|
|
П3
|
3
|
2
|
1
|
303
|
|
Уровень прибыли
на ед. продукции
|
20
|
24
|
28
|
|
|
|
Содержание задачи.
Цех кондитерской фабрики вырабатывает три ассортиментные группы конфет, условно обозначенные М1, М2, М3 /в ед./.
Для их производства используются основные виды ресурсов /сырья/ трех видов, условно названных П1, П2, П3 /в ед./.
Расход каждого ресурса на производство единицы продукции является за-данной величиной, определяется по рецептуре и обозначается символами а11, a12..., а33, где а - норма расхода, первая подстрочная 1 - номер ресурса, вторая подстрочная 1, 2, 3 - номер ассортиментной группы конфет.
Наличие каждого ресурса для производства всех, групп конфет принимает-ся как известная величина и обозначается символами в1, в2, в3.
Прибыль на продукцию также принимается как известная величина и обо-значается символами c1, c2, с3.
Перечисленные параметры являются величинами известными и выражают-ся в единых единицах измерения, кроме прибыли. Прибыль или другой какой показатель, являющийся критерием оптимальности, выражается в единицах из-мерения дохода /например, прибыли/, получаемого от производства единицы продукции в денежном или другом каком-нибудь выражении.
Поскольку решение задачи заключается в поиске такого плана производст-ва, который обеспечивал бы в принятых условиях наибольший доход, принима-ются те величины, которые являются неизвестными и обозначающими количест-ва каждой группы конфет, включаемых в план производства: x1 для M1; х2 для М2; х3 для М3.
Экономико-математическая модель в символическом виде.
Система ограничений
Целевая функция /суммарный доход/ F = с1х1 + с2х2 + с3х3 = мах
Условия неотрицательности неизвестных х1 ? 0, х2 ? 0, х3 ? 0
Символическая модель, наполненная численной информацией, будет иметь следующий вид:
2x1 + 4x2 + 3x3 ? 266
1x1 + 3x2 + 4x3 ? 200
3x1 + 2x2 + 1x3 ? 303
Прибыль от реализации выпускаемой продукции должна быть максималь-ной, то есть F = 20х1 + 24х2 + 28х3 = max;
Решение задачи.
Для решения задачи симплексным методом неравенства преобразуются в эквивалентные равенства путем добавления в каждое неравенство по одному до-полнительному неизвестному с коэффициентом + 1 и нулевым уравнением при-были. Для удобства расчетов левые и правые части уравнений меняются места-ми. В этом случае исходные неравенства примут вид симплексных уравнений:
266 = 2x1 + 4x2 + 3x3 + 1x4
200 = 1x1 + 3x2 + 4x3 + 1x5
303 = 3x1 + 2х2 + 1x3 + 1x6
F = 20х1 + 24х2 + 28х3 + 0x4 + 0x5 + 0x6
Коэффициенты при неизвестных записываются в симплексной таблице, в которой выполняются расчеты и отражаются полученные результаты.
Исходная таблица
cj
|
p0
|
x0
|
20
|
24
|
28
|
0
|
0
|
0
|
|
|
|
|
x1
|
х2
|
х3
|
х4
|
х5
|
х6
|
|
0
|
х4
|
266
|
2
|
4
|
3
|
1
|
0
|
0
|
|
0
|
х5
|
200
|
1
|
3
|
4
|
0
|
1
|
0
|
|
0
|
х6
|
303
|
3
|
2
|
1
|
0
|
0
|
1
|
|
Zj - Cj
|
0
|
-20
|
-24
|
-28
|
0
|
0
|
0
|
|
|
В столбцах таблицы записывают: в первом (Cj) - прибыль единицы про-дукции, которая вводится в план выпуска; во втором (Р0) - неизвестные, вклю-чаемые в план; в третьем (Х0) - свободные величины; в остальных - коэффици-енты при неизвестных уравнений. В верхней части этих столбцов отражаются коэффициенты при неизвестных целевой функции.
В нижней строке (целевой) записываются получаемые расчетным путем показатели: в столбце х0 - суммарная прибыль планового выпуска, в остальных столбцах - прибыль единицы продукции с отрицательным знаком.
В последних трех столбцах коэффициенты при дополнительных неизвест-ных, равные единице, расположены по диагонали. Эта часть таблицы, называе-мая единичной подматрицей, необходима для вычислительных и аналитических целей.
При решении задач на максимум целевой функции наличие в целевой строке отрицательных чисел указывает на возможность начала или продолжения решения задачи. Порядок решения таков: из отрицательных чисел целевой строки выбирается наибольшее по модулю. Столбец, в котором оно находится, принимается за ключевой (или разрешающий) и для удобства расчетов выделя-ется. В нашем примере таким столбцом будет Х3, имеющий в целевой строке наибольшую по модулю величину -28.
1-ая итерация
cj
|
p1
|
x0
|
x1
|
х2
|
х3
|
х4
|
х5
|
х6
|
|
0
|
х4
|
116
|
1.3
|
1.75
|
0
|
1
|
-1
|
0
|
|
28
|
х3
|
50
|
0.3
|
0.75
|
1
|
0
|
0.3
|
0
|
|
0
|
х6
|
253
|
2.8
|
1.25
|
0
|
0
|
-0
|
1
|
|
Zj - Cj
|
1400
|
-13
|
-3
|
0
|
0
|
7
|
0
|
|
|
Затем элементы столбца Х0 (свободные величины) делят на соответствую-щие коэффициенты ключевого столбца и полученные результаты сопоставляют между собой. Строка с наименьшим отношением принимается за ключевую и также для удобства выделяется. В нашем случае 266/3 = 88,7; 200/4 = 50; 303/1 = 303. Наименьшее отношение 50 имеет срока х5, она и будет ключевой. Ключевой элемент 4.
Далее элементы таблицы преобразуются и записываются в новую таблицу. Первоначально преобразуют элементы ключевой строки путем деления их на ключевой элемент. Преобразованные элементы записывают в том же самом месте.
В столбцах Ро и Cj занимают место вводимая в план неизвестная х3 с при-былью 28 (итерация 1-я). Остальные элементы преобразуются по следующему правилу:
- для преобразуемого элемента в его столбце находят элемент ключевой строки, а в его строке - элемент ключевого столбца;
- соответствующие элементы ключевой строки и ключевого столбца пере-множаются и полученное произведение делят на ключевой момент;
- частное от деления вычитают из значения элемента, которое он имел до преобразования, и полученный результат будет преобразованным элементом, ко-торый записывается в новую таблицу в том же самом месте. Следуя этому пра-вилу, преобразование элементов столбца х0 будет:
Включение на первой итерации в план неизвестной х3 обеспечит сумму прибыли 1400 руб.
Решение задачи продолжается, так как в целевой строке два отрицатель-ных элемента. Наибольший по модулю элемент -13. Он находится в столбце х1, который принимается за ключевой, а ключевой строкой будет х6 (116:1,3=92,8; 50:0,3=200; 253:2,8=92), ключевым элементом 2,8. Элементы таблицы преобра-зуются в том же порядке по изложенному правилу и записываются в новую таб-лицу.
2-я итерация
cj
|
p2
|
x0
|
x1
|
х2
|
х3
|
х4
|
х5
|
х6
|
|
0
|
х4
|
1
|
0
|
1.18
|
0
|
1
|
-1
|
-0.5
|
|
28
|
х3
|
27
|
0
|
0.64
|
1
|
0
|
0.3
|
-0.1
|
|
13
|
х1
|
92
|
1
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
|
Zj - Cj
|
2596
|
0
|
2.91
|
0
|
0
|
5.8
|
4.7
|
|
|
В последней таблице целевая строка имеет только положительные элемен-ты. Это значит, что составленный план оптимален и дальнейшее улучшение его невозможно.
Как видно из таблицы, оптимальный план предусматривает выпуск про-дукции П1 27 ед. (х1 = 27), П3 92 ед. (х3 = 92), дополнительного неизвестного П4 1 ед. (х4 = 1). П2 и дополнительные неизвестные в план не вошли, следовательно, х2 = 0, х5 = 0 х6 = 0. Подставив значения неизвестных в уравнения, получим:
2 * 92 + 4 * 0 + 3 * 27 + 1 = 266
1 * 92 + 3 * 0 + 4 * 27 + 0 = 200
3 * 92 + 2 * 0 + 1 * 27 + 0 = 303
F = 20 * 92 + 24 * 0 + 27 * 28 = 2596
Анализ оптимального плана.
а) Запасы сырья трех видов используются не полностью, так как х4 = 1, а х5 = х6 = 0.
б) Рассмотрим элементы матрицы.
От выпуска продукции II следует отказаться.
Элементы столбца х5 показывают, что увеличение запасов сахара на I ед. (х5 = 1) позволит увеличить выпуск продукции III вида на 0,3 ед. Сумма прибыли увеличится на 5,8 руб.
Элементы столбца х6 показывают, что увеличение запасов жира на I ед. (х6 = 1) позволит уменьшить выпуск только продукции III вида на 0,1 ед. (27 - 0.1) Сумма при-были увеличится на 4,7 руб.
Снижение запасов сырья приводит к изменениям выпуска продукции и суммы прибыли в обратном порядке.
Элементы целевой строки оптимального плана называются двойственными оценками, которые определяют величину изменения прибыли при изменении за-пасов сырья на I ед.
ЗАДАЧА 2
Требуется определить минимальную по стоимости смесь сырья для изго-товления пищевых концентратов, которые должны содержать питательные ве-щества (П). Эти вещества содержаться в сырье (М) в различных сочетаниях. Со-держание питательных веществ в сырье и готовом продукте, а также цена на ка-ждый вид сырья показаны в таблице.
Питательные вещества
|
Виды сырья
|
Минимальное содержание
(единиц) питательных веществ
в готовом продукте
|
|
|
M1
|
М2
|
М3
|
|
|
П1
|
1
|
1
|
0
|
50
|
|
П2
|
4
|
1
|
3
|
140
|
|
П3
|
1
|
4
|
1
|
127
|
|
П4
|
0
|
3
|
2
|
80
|
|
Цена за единицу сырья, руб.
|
8
|
12
|
10
|
|
|
|
Виды используемого сырья условно обозначены через М1, М2, М3; содер-жание питательных веществ в сырье и готовом продукте обозначены П1, П2, П3, П3.
Исходные условия задачи выражаются неравенствами:
1х1 + 1х2 + 0х3 ? 50
4х1 + 1х2 + 3х3 ? 140
1х1 + 4х2 + 1х3 ? 127
0х1 + 3х2 + 2х3 ? 80
F = 8х1 + 12х2 + 10х3 = min
Умножив обе части неравенств на -1, получим систему с другим направле-нием знака неравенств:
-1х1 - 1х2 - 0х3 ? -50
-4х1 - 1х2 - 3х3 ? -140
-1х1 - 4х2 - 1х3 ? -127
0х1 - 3х2 - 2х3 ? -80
F = 8х1 + 12х2 + 10х3 = min
Преобразуем неравенства в эквивалентные равенства с помощью дополни-тельных неизвестных. Симплексные уравнения будут следующими:
-50 = -1х1 - 1х2 - 0х3 + 1х4 + 0х5 + 0х6 + 0х7
-140 = -4х1 - 1х2 - 3х3 + 0х4 + 1х5 + 0х6 + 0х7
-127 = -1х1 - 4х2 - 1х3 + 0х4 + 0х5 + 1х6 + 0х7
-80 = 0х1 - 3х2 - 2х3 + 0х4 + 0х5 + 0х6 + 1х7
F = 8х1 + 12х2 + 10х3 + 0х4 + 0х5 + 0х6 + 0х7 = min
Записанные уравнения отличаются от тех, которые нами рассматривались выше, тем, что коэффициенты при основных неизвестных и свободные члены имеют отрицательные знаки.
Решение таких задач производится двойственным симплексным методом. Система симплексных уравнений записывается в таблице.
cj
|
p0
|
x0
|
8
|
12
|
10
|
0
|
0
|
0
|
0
|
|
|
|
|
x1
|
х2
|
х3
|
х4
|
х5
|
х6
|
х7
|
|
0
|
х4
|
-50
|
-1
|
-1
|
0
|
1
|
0
|
0
|
0
|
|
0
|
х5
|
-140
|
-4
|
-1
|
-3
|
0
|
1
|
0
|
0
|
|
0
|
х6
|
-127
|
-1
|
-4
|
-1
|
0
|
0
|
1
|
0
|
|
0
|
х7
|
-80
|
0
|
-3
|
-2
|
0
|
0
|
0
|
1
|
|
Zj - Cj
|
0
|
-8
|
-12
|
-10
|
0
|
0
|
0
|
0
|
|
|
Элементы целевой строки рассчитывают по обычным правилам и получа-ют отрицательные знаки.
В отличие от вычислительной процедуры основного симплексного метода решение задач двойственным методом выполняется в обратном порядке.
В итоговом столбце свободные числа имеют отрицательные знаки. Это яв-ляется свидетельством того, что данный план нельзя считать допустимым, так как он противоречит экономическому смыслу. План можно считать допустимым только тогда, когда в итоговом столбце не будет отрицательных чисел.
Ликвидация отрицательных чисел в итоговом столбце начинается с наи-большего по абсолютной величине. В нашем примере таким числом является (-140). Строка х5, в которой находится это число, принимается за ключевую и со-ответственно выделяется.
Определив ключевую строку, находим ключевой столбец. Для этого нужно элементы целевой строки разделить на элементы ключевой строки и из получен-ных отношений выбрать наименьшее. Столбец, имеющий наименьшее отноше-ние, принимается за ключевой и так же как ключевая строка, выделяется.
Столбцы х1, х2, х3 будут иметь следующие отно-шения:
Наименьшее отношение имеет столбец х1, он и будет являться ключевым.
Определив ключевую строку, ключевой столбец и ключевое число, по обычным правилам преобразуются все элементы матрицы и записываются в но-вой таблице.
1-я итерация
cj
|
p0
|
x0
|
18
|
15
|
24
|
0
|
0
|
0
|
0
|
|
|
|
|
x1
|
х2
|
х3
|
х4
|
х5
|
х6
|
х7
|
|
0
|
х4
|
-15
|
0
|
-0.75
|
0.75
|
1
|
-0.25
|
0
|
0
|
|
8
|
х1
|
35
|
1
|
0.25
|
0.75
|
0
|
-0.25
|
0
|
0
|
|
0
|
х6
|
-92
|
0
|
-3.75
|
-0.25
|
0
|
-0.25
|
1
|
0
|
|
0
|
х7
|
-80
|
0
|
-3
|
-2
|
0
|
0
|
0
|
1
|
|
Zj - Cj
|
280
|
0
|
-10
|
-4
|
0
|
-2
|
0
|
0
|
|
|
После преобразования элементов в итоговом столбце осталось еще три от-рицательных числа в строке х4, х6 и х7. Наибольшим по абсолютной величине яв-ляется число в строке х6. Эта строка будет принята за ключевую для последую-щего расчета. Ключевой столбец определяется по наименьшему отношению эле-ментов целевой строки к элементам ключевой строки. Им будет столбец х2. Вво-дим этот вид сырья в программу вместо неизвестного х6. По общим правилам преобразуем элементы матрицы.
2-я итерация
cj
|
p0
|
x0
|
x1
|
х2
|
х3
|
х4
|
х5
|
х6
|
х7
|
|
0
|
х4
|
3.4
|
0
|
0
|
0.8
|
1
|
-0.2
|
-0.2
|
0
|
|
8
|
х1
|
28.9
|
1.0
|
0.0
|
0.7
|
0.0
|
-0.3
|
0.1
|
0.0
|
|
15
|
х2
|
24.5
|
0.0
|
1.0
|
0.1
|
0.0
|
0.1
|
-0.3
|
0.0
|
|
0
|
х7
|
-6.4
|
0.0
|
0.0
|
-1.8
|
0.0
|
0.2
|
-0.8
|
1.0
|
|
Zj - Cj
|
525.3
|
0.0
|
0.0
|
-3.3
|
0.0
|
-1.3
|
-2.7
|
0.0
|
|
|
После преобразования элементов в итоговом столбце осталось еще одно отрицательное число в строке х7. Эта строка будет принята за ключевую для по-следующего расчета. Ключевой столбец определяется по наименьшему отноше-нию элементов целевой строки к элементам ключевой строки. Им будет столбец х3. Вводим этот вид сырья в программу вместо неизвестного х7. По общим пра-вилам преобразуем элементы матрицы.
В таблице записаны преобразованные числа, полученные на 3-й итерации. В итоговом столбце все отрицательные числа исчезли, значит полученный план является допустимым и одновременно оптимальным. Вывод о том, что план по-лучен оптимальный, позволяют сделать элементы целевой строки. Все они отри-цательны или равны нулю, что свидетельствует об оптимальности результата при решении задач на минимум целевой функции.
3-я итерация
cj
|
p0
|
x0
|
x1
|
х2
|
х3
|
х4
|
х5
|
х6
|
х7
|
|
0
|
х4
|
0.6
|
0.0
|
0.0
|
0.0
|
1.0
|
-0.1
|
-0.6
|
0.4
|
|
8
|
х1
|
26.3
|
1.0
|
0.0
|
0.0
|
0.0
|
-0.2
|
-0.3
|
0.4
|
|
15
|
х2
|
24.3
|
0.0
|
1.0
|
0.0
|
0.0
|
0.1
|
-0.3
|
0.0
|
|
10
|
х3
|
3.6
|
0.0
|
0.0
|
1.0
|
0.0
|
-0.1
|
0.4
|
-0.6
|
|
Zj - Cj
|
537.2
|
0.0
|
0.0
|
0.0
|
0.0
|
-1.7
|
-1.2
|
-1.9
|
|
|
Подставив значения неизвестных в исходные неравенства, получаем:
1 * 26,3 + 1 * 24,3 + 0 * 3,6 ? 50
4 * 26,3 + 1 * 24,3 + 3 * 3,6 ? 140
1 * 26,3 + 4 * 24,3 + 1 * 3,6 ? 127
0 * 26,3 + 3 * 24,3 + 2 * 3,6 ? 80
Стоимость сырья при этом будет минимальной и составит:
F = 8 * 26,3 + 12 * 24,3 + 12 * 3,6 = 537,2
ЗАДАЧА 3
Составить оптимальный план перевозок пищевых продуктов от 4-х по-ставщиков к 6-ти потребителям. Поставщики (П), потребители (М), объемы вы-воза и завоза, кратчайшие расстояния между пунктами вывоза и завоз приведены в таблице.
Поставщики
|
Потребители
|
Объемы вывоза, т
|
|
|
М1
|
М2
|
М3
|
М4
|
М5
|
М6
|
|
|
П1
|
24
|
30
|
42
|
15
|
39
|
21
|
144
|
|
П2
|
9
|
24
|
30
|
33
|
27
|
29
|
148
|
|
П3
|
24
|
22
|
20
|
45
|
21
|
23
|
76
|
|
П4
|
11
|
36
|
27
|
40
|
30
|
8
|
132
|
|
Объемы завоза, т
|
92
|
84
|
80
|
112
|
96
|
36
|
|
|
|
Решение задачи начинается с распределения у имеющихся у поставщиков объемов вывоза между потребителями с учетом объемов завоза. Для первоначального распределения используются способы: северо-западного угла, наименьшего элемента по строке, наименьшего элемента по столбцу, наименьшего элемента матрицы.
Способ северо-западного угла состоит в том, что распре-деление объемов вывоза производится, начиная с верхнего лево-го угла таблицы и кончая нижним углом ее. Результаты распреде-ления показаны в таблице.
Поставщики и объемы вывоза, т
|
Потребители и объемы завоза
|
Потенциалы строк
|
|
|
М1
|
М2
|
М3
|
М4
|
М5
|
М6
|
|
|
|
92
|
84
|
80
|
112
|
96
|
36
|
|
|
П1
|
144
|
24
|
30
|
42
|
15
|
39
|
21
|
0
|
|
|
|
92
|
52
|
|
|
|
|
|
|
П2
|
148
|
9
|
24
|
30
|
33
|
27
|
29
|
-6
|
|
|
|
|
32
|
80
|
36
|
|
|
|
|
П3
|
76
|
24
|
22
|
20
|
45
|
21
|
23
|
6
|
|
|
|
|
|
|
76
|
0
|
|
|
|
П4
|
132
|
11
|
36
|
27
|
40
|
30
|
8
|
15
|
|
|
|
|
|
|
|
96
|
36
|
|
|
Потенциалы столбцов
|
24
|
30
|
36
|
39
|
15
|
-7
|
|
|
|
Проверка плана на оптимальность. Когда исходный план получен и рассчитана соответствующая ему суммарная тонно-километровая работа, определяют, является ли этот план оптимальным. Для проверки плана на оптимальность применяется метод потенциалов.
Сущность метода потенциалов состоит в том, что для каж-дой строки и каждого столбца таблицы (матрицы) определяют спе-циальные числа, называемые потенциалами. С помощью этих потен-циалов можно установить, нужно ли заполнять свободную клетку матрицы или ее нужно оставить незаполненной.
Для решения задач методом потенциалов исходный план дол-жен иметь количество заполненных клеток m + n - 1 (m - число строк, n - число столбцов). Если план не отвечает этим требованиям, то не для всех строк и столбцов можно рассчи-тать потенциалы, а без них нельзя проверить план на оптималь-ность.
Потенциалы строк и столбцов определяются по заполненным клеткам, находящимся на их пересечении.
Элемент заполненной клетки должен равняться сумме потен-циалов строки и столбца, на пересечении которых находится эта заполненная клетка.
Для начала вычислений первый потенциал для строки или столбца принимается условно равным нулю, все остальные потенциалы определяются с помощью элементов заполненных клеток.
Обозначив потенциалы строк ui, потенциалы столбцов Vj, элементы заполнения клеток , можно записать порядок расчета потенциалов для общего случая.
Из основного требования = ui + Vj вытекает:
ui = - Vj; Vj = - ui
Из этих выражений видно, что для расчета потенциала строки необходимо иметь заполненную клетку, в столбце которой потенциал уже определен, а для расчета потенциала столбца нужна заполненная клетка, имеющая потенциал в строке.
Потенциалы показаны в таблице.
После того, как по строкам и столбцам определены потенциа-лы, с их помощью выясняется, является ли план оптимальным, и если нет, то как его можно улучшить. С этой целью для каждой свободной клетки вычисляется сумма потенциалов строк и столбцов, на пересечении которых находится эта клетка.
Сравнение суммы потенциалов с величиной элемента в свобод-ных клетках позволяет определить, нужно ли заполнять эту клетку или ее нужно оставить свободной.
При решении задач на минимум функционала (в нашем случае на минимум тонно-километровой работы) не заполняются те свобод-ные клетки, в которых сумма потенциалов меньше величины эле-мента (в нашем случае - расстояния).
Иными словами, если характеристика, значение которой равно разности - (ui + Vj), положительная, то свободная мет-ка не заполняется при решении задачи на минимум функции.
Свободные клетки, имеющие нулевое значение характеристики, показывают на то, что их заполнение приведет к перераспределению поставок, но объем работ (значение функционала) останется неиз-менным.
Суммы потенциалов, значения элементов и характеристики для незаполненных клеток приведены в таблице.
Шифры клеток
|
П1-М3
|
П1-М4
|
П1-М5
|
П1-M6
|
П2-М1
|
П2-М5
|
П2-М6
|
П3-М1
|
П3-М2
|
П3-М3
|
П3-М6
|
П4-М1
|
П4-М2
|
П4-М3
|
П4-М4
|
|
Суммы потенциалов
|
36
|
39
|
15
|
-7
|
18
|
9
|
-13
|
30
|
36
|
42
|
-1
|
39
|
45
|
51
|
54
|
|
Значение элементов
|
42
|
15
|
39
|
21
|
9
|
27
|
29
|
24
|
22
|
20
|
23
|
11
|
36
|
27
|
40
|
|
Характеристики
|
6
|
-24
|
24
|
28
|
-9
|
18
|
42
|
-6
|
-14
|
-22
|
24
|
-28
|
-9
|
-24
|
-14
|
|
|
В первоначальном плане шесть клеток имеют положительные характеристики, в девяти клетках характеристики отрицательные.
Так как задача решается на минимум целевой функции, то именно эти отрицательные клетки должны быть заполнены поставщиками. Но заполнение свободной клетки и связанное с ним пере-распределение поставок производится не изолированно, а в связи с несколькими заполненными клетками. Эта связь выявляется путем построения замкнутых многоугольников, вершинами которых явля-ются клетки таблицы. Одна вершина многоугольника находится в свободной клетке, а все остальные - в заполненных клетках. Многоугольник, или как его называют цепь, имеет прямые углы и четное число вершин.
В результате перераспределения в каждой вершине (клетке) цепи происходит изменение величины поставок: в одних клетках они увеличиваются, в других - уменьшаются.
Те клетки цепи, у которых поставки увеличиваются, называ-ются положительными, а те, у которых поставки уменьшаются - отрицательными. Каждая цепь имеет одинаковое число положитель-ных и отрицательных вершин (клеток). Положительные и отрица-тельные вершины чередуются. Если свободную клетку, в которую предполагается произвести запись, принять как положительную (поскольку изменение произойдет в сторону увеличения), то сле-дующая клетка будет отрицательной, затем опять положительной, снова отрицательной, и т.д.
Из свободных клеток для заполнения выбирают обычно клетку, которая имеет наибольшую отрицательную характеристику. В нее записывают самую наименьшую величину из отрицательных вершин цепи.
+П4М1 -П1М1 +П1М2 -П2М2 +П2М4 -П3М4 +П3М5 -П4М5
Поставщики и объемы вывоза, т
|
Потребители и объемы завоза
|
Потенциалы строк
|
|
|
М1
|
М2
|
М3
|
М4
|
М5
|
М6
|
|
|
|
92
|
84
|
80
|
112
|
96
|
36
|
|
|
П1
|
144
|
24
|
30
|
42
|
15
|
39
|
21
|
0
|
|
|
|
60
|
84
|
|
|
|
|
|
|
П2
|
148
|
9
|
24
|
30
|
33
|
27
|
29
|
-6
|
|
|
|
|
|
80
|
68
|
|
|
|
|
П3
|
76
|
24
|
22
|
20
|
45
|
21
|
23
|
6
|
|
|
|
|
|
|
44
|
32
|
|
|
|
П4
|
132
|
11
|
36
|
27
|
40
|
30
|
8
|
15
|
|
|
|
32
|
|
|
|
64
|
36
|
|
|
Потенциалы столбцов
|
24
|
30
|
36
|
39
|
15
|
-7
|
|
|
|
Шифры
клеток
|
П1-М3
|
П1-М4
|
П1-М5
|
П1-М6
|
П2-М1
|
П2-М2
|
П2-М5
|
П2-М6
|
П3-М1
|
П3-М2
|
П3-М3
|
П3-М6
|
П4-М2
|
П4-М3
|
П4-М4
|
|
Суммы
потенциалов
|
36
|
39
|
15
|
-7
|
18
|
24
|
9
|
-13
|
30
|
36
|
42
|
-1
|
45
|
51
|
54
|
|
Значение
элементов
|
42
|
15
|
39
|
21
|
9
|
24
|
27
|
29
|
24
|
22
|
20
|
23
|
36
|
27
|
40
|
|
Характеристики
|
6
|
-24
|
24
|
28
|
-9
|
0
|
18
|
42
|
-6
|
-14
|
-22
|
24
|
-9
|
-24
|
-14
|
|
|
+П2М5 -П4М5 +П4М1 -П1М1 +П1М4 -П2М4
Поставщики и объемы вывоза, т
|
Потребители и объемы завоза
|
Потенциалы строк
|
|
|
М1
|
М2
|
М3
|
М4
|
М5
|
М6
|
|
|
|
92
|
84
|
80
|
112
|
96
|
36
|
|
|
П1
|
144
|
24
|
30
|
42
|
15
|
39
|
21
|
0
|
|
|
|
16
|
84
|
|
44
|
|
|
|
|
П2
|
148
|
9
|
24
|
30
|
33
|
27
|
29
|
18
|
|
|
|
|
|
80
|
68
|
|
|
|
|
П3
|
76
|
24
|
22
|
20
|
45
|
21
|
23
|
-22
|
|
|
|
|
|
|
|
76
|
|
|
|
П4
|
132
|
11
|
36
|
27
|
40
|
30
|
8
|
-13
|
|
|
|
76
|
|
|
|
20
|
36
|
|
|
Потенциалы столбцов
|
24
|
30
|
12
|
15
|
43
|
21
|
|
|
|
Шифры
клеток
|
П1-М3
|
П1-М5
|
П1-М6
|
П2-М1
|
П2-М2
|
П2-М5
|
П2-М6
|
П3-М1
|
П3-М2
|
П3-М3
|
П3-М4
|
П3-М6
|
П4-М2
|
П4-М3
|
П4-М4
|
|
Суммы
потенциалов
|
12
|
43
|
21
|
42
|
48
|
61
|
39
|
2
|
8
|
-10
|
-7
|
-1
|
17
|
-1
|
2
|
|
Значение
элементов
|
42
|
39
|
21
|
9
|
24
|
27
|
29
|
24
|
22
|
20
|
45
|
23
|
36
|
27
|
40
|
|
Характеристики
|
30
|
-4
|
0
|
-33
|
-24
|
-34
|
-10
|
22
|
14
|
30
|
52
|
24
|
19
|
28
|
38
|
|
|
+П2М5 -П4М5 +П4М1 -П1М1 +П1М4 -П2М4
Поставщики и объемы вывоза, т
|
Потребители и объемы завоза
|
Потенциалы строк
|
|
|
М1
|
М2
|
М3
|
М4
|
М5
|
М6
|
|
|
|
92
|
84
|
80
|
112
|
96
|
36
|
|
|
П1
|
144
|
24
|
30
|
42
|
15
|
39
|
21
|
0
|
|
|
|
|
84
|
|
60
|
|
|
|
|
П2
|
148
|
9
|
24
|
30
|
33
|
27
|
29
|
18
|
|
|
|
|
|
80
|
52
|
16
|
|
|
|
П3
|
76
|
24
|
22
|
20
|
45
|
21
|
23
|
12
|
|
|
|
|
|
|
|
76
|
|
|
|
П4
|
132
|
11
|
36
|
27
|
40
|
30
|
8
|
21
|
|
|
|
92
|
|
|
|
4
|
36
|
|
|
Потенциалы столбцов
|
-10
|
30
|
12
|
15
|
9
|
-13
|
|
|
|
Шифры
клеток
|
П1-М1
|
П1-М3
|
П1-М5
|
П1-М6
|
П2-М1
|
П2-М2
|
П2-М6
|
П3-М1
|
П3-М2
|
П3-М3
|
П3-М4
|
П3-М6
|
П4-М2
|
П4-М3
|
П4-М4
|
|
Суммы
потенциалов
|
-10
|
12
|
9
|
-13
|
8
|
30
|
5
|
2
|
42
|
24
|
27
|
-1
|
51
|
33
|
36
|
|
Значение
элементов
|
24
|
42
|
39
|
21
|
9
|
24
|
29
|
24
|
22
|
20
|
45
|
23
|
36
|
27
|
40
|
|
Характеристики
|
34
|
30
|
30
|
34
|
1
|
-6
|
24
|
22
|
-20
|
-4
|
18
|
24
|
-15
|
-6
|
4
|
|
|
+П3М2 -П1М2 +П1М4 -П2М4 +П2М5 -П3М5
Поставщики и объемы вывоза, т
|
Потребители и объемы завоза
|
Потенциалы строк
|
|
|
М1
|
М2
|
М3
|
М4
|
М5
|
М6
|
|
|
|
92
|
84
|
80
|
112
|
96
|
36
|
|
|
П1
|
144
|
24
|
30
|
42
|
15
|
39
|
21
|
0
|
|
|
|
|
32
|
|
112
|
|
|
|
|
П2
|
148
|
9
|
24
|
30
|
33
|
27
|
29
|
-2
|
|
|
|
|
|
80
|
|
68
|
|
|
|
П3
|
76
|
24
|
22
|
20
|
45
|
21
|
23
|
-8
|
|
|
|
|
52
|
|
|
24
|
|
|
|
П4
|
132
|
11
|
36
|
27
|
40
|
30
|
8
|
1
|
|
|
|
92
|
|
|
|
4
|
36
|
|
|
Потенциалы столбцов
|
10
|
30
|
32
|
15
|
29
|
7
|
|
|
|
Шифры
клеток
|
П1-М1
|
П1-М3
|
П1-М5
|
П1-М6
|
П2-М1
|
П2-М2
|
П2-М4
|
П2-М6
|
П3-М1
|
П3-М3
|
П3-М4
|
П3-М6
|
П4-М2
|
П4-М3
|
П4-М4
|
|
Суммы
потенциалов
|
10
|
32
|
29
|
7
|
8
|
28
|
13
|
5
|
2
|
24
|
7
|
-1
|
31
|
33
|
16
|
|
Значение
элементов
|
24
|
42
|
39
|
21
|
9
|
24
|
33
|
29
|
24
|
20
|
45
|
23
|
36
|
27
|
40
|
|
Характеристики
|
14
|
10
|
10
|
14
|
1
|
-4
|
20
|
24
|
22
|
-4
|
38
|
24
|
5
|
-6
|
24
|
|
|
+П4М3 -П2М3 +П2М5 -П4М5
Поставщики и объемы вывоза, т
|
Потребители и объемы завоза
|
Потенциалы строк
|
|
|
М1
|
М2
|
М3
|
М4
|
М5
|
М6
|
|
|
|
92
|
84
|
80
|
112
|
96
|
36
|
|
|
П1
|
144
|
24
|
30
|
42
|
15
|
39
|
21
|
0
|
|
|
|
|
32
|
|
112
|
|
|
|
|
П2
|
148
|
9
|
24
|
30
|
33
|
27
|
29
|
-2
|
|
|
|
|
|
76
|
|
72
|
|
|
|
П3
|
76
|
24
|
22
|
20
|
45
|
21
|
23
|
-8
|
|
|
|
|
52
|
|
|
24
|
|
|
|
П4
|
132
|
11
|
36
|
27
|
40
|
30
|
8
|
-5
|
|
|
|
92
|
|
4
|
|
|
36
|
|
|
Потенциалы столбцов
|
16
|
30
|
32
|
15
|
29
|
13
|
|
|
|
Шифры
клеток
|
П1-М1
|
П1-М3
|
П1-М5
|
П1-М6
|
П2-М1
|
П2-М2
|
П2-М4
|
П2-М6
|
П3-М1
|
П3-М3
|
П3-М4
|
П3-М6
|
П4-М2
|
П4-М4
|
П4-М5
|
|
Суммы
потенциалов
|
16
|
32
|
29
|
13
|
14
|
28
|
13
|
11
|
8
|
24
|
7
|
5
|
25
|
10
|
24
|
|
Значение
элементов
|
24
|
42
|
39
|
21
|
9
|
24
|
33
|
29
|
24
|
20
|
45
|
23
|
36
|
40
|
30
|
|
Характеристики
|
8
|
10
|
10
|
8
|
-5
|
-4
|
20
|
18
|
16
|
-4
|
38
|
18
|
11
|
30
|
6
|
|
|
+П2М1 -П2М3 +П4М3 -П4М1
Поставщики и объемы вывоза, т
|
Потребители и объемы завоза
|
Потенциалы строк
|
|
|
М1
|
М2
|
М3
|
М4
|
М5
|
М6
|
|
|
|
92
|
84
|
80
|
112
|
96
|
36
|
|
|
П1
|
144
|
24
|
30
|
42
|
15
|
39
|
21
|
0
|
|
|
|
|
32
|
|
112
|
|
|
|
|
П2
|
148
|
9
|
24
|
30
|
33
|
27
|
29
|
-2
|
|
|
|
76
|
|
|
|
72
|
|
|
|
П3
|
76
|
24
|
22
|
20
|
45
|
21
|
23
|
-8
|
|
|
|
|
52
|
|
|
24
|
|
|
|
П4
|
132
|
11
|
36
|
27
|
40
|
30
|
8
|
0
|
|
|
|
16
|
|
80
|
|
|
36
|
|
|
Потенциалы столбцов
|
11
|
30
|
27
|
15
|
29
|
8
|
|
|
|
Шифры
клеток
|
П1-М1
|
П1-М3
|
П1-М5
|
П1-М6
|
П2-М2
|
П2-М3
|
П2-М4
|
П2-М6
|
П3-М1
|
П3-М3
|
П3-М4
|
П3-М6
|
П4-М2
|
П4-М4
|
П4-М5
|
|
Суммы
потенциалов
|
11
|
27
|
29
|
8
|
28
|
25
|
13
|
6
|
3
|
19
|
7
|
0
|
30
|
15
|
29
|
|
Значение
элементов
|
24
|
42
|
39
|
21
|
24
|
30
|
33
|
29
|
24
|
20
|
45
|
23
|
36
|
40
|
30
|
|
Характеристики
|
13
|
15
|
10
|
13
|
-4
|
5
|
20
|
23
|
21
|
1
|
38
|
23
|
6
|
25
|
1
|
|
|
+П2М2 -П2М5 +П3М5 -П3М2
Поставщики и объемы вывоза, т
|
Потребители и объемы завоза
|
Потенциалы строк
|
|
|
М1
|
М2
|
М3
|
М4
|
М5
|
М6
|
|
|
|
92
|
84
|
80
|
112
|
96
|
36
|
|
|
П1
|
144
|
24
|
30
|
42
|
15
|
39
|
21
|
0
|
|
|
|
|
32
|
|
112
|
|
|
|
|
П2
|
148
|
9
|
24
|
30
|
33
|
27
|
29
|
-6
|
|
|
|
76
|
52
|
|
|
20
|
|
|
|
|
П3
|
76
|
24
|
22
|
20
|
45
|
21
|
23
|
-12
|
|
|
|
|
|
|
|
76
|
|
|
|
П4
|
132
|
11
|
36
|
27
|
40
|
30
|
8
|
-4
|
|
|
|
16
|
|
80
|
|
|
36
|
|
|
Потенциалы столбцов
|
15
|
30
|
31
|
15
|
33
|
12
|
|
|
|
Шифры
клеток
|
П1-М1
|
П1-М3
|
П1-М5
|
П1-М6
|
П2-М3
|
П2-М4
|
П2-М6
|
П3-М1
|
П3-М2
|
П3-М3
|
П3-М4
|
П3-М6
|
П4-М2
|
П4-М4
|
П4-М5
|
|
Суммы
потенциалов
|
15
|
31
|
33
|
12
|
25
|
9
|
6
|
3
|
18
|
19
|
3
|
0
|
26
|
11
|
29
|
|
Значение
элементов
|
24
|
42
|
39
|
21
|
30
|
33
|
29
|
24
|
22
|
20
|
45
|
23
|
36
|
40
|
30
|
|
Характеристики
|
9
|
11
|
6
|
9
|
5
|
24
|
23
|
21
|
4
|
1
|
42
|
23
|
10
|
29
|
1
|
|
|
Все свободные клетки имеют положительные характеристики, которые свидетельствуют о том, что дальнейшее улучшение плана невозможно и полученный план является оптимальным.
Объем работ составит: 32 * 30 + 112 * 15 + 76 * 9 + 52 * 24 + 20 * 27 + 76 * 21 + 16 * 11 + 80 * 27 + 36 * 8 = 9332 ткм.
|