Дефект масс и энергия связи ядер
Дефект масс и энергия связи ядер
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
БЛАГОВЕЩЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ
ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
кафедра общей физики
Энергия связи и дефект масс
курсовая работа
Выполнила: студентка 3 курса ФМФ, группы
«Е», Подорван А.Н.
Проверила: доцент Карацуба Л.П.
Благовещенск 2000
Содержание
§1. Дефект массы – характеристика
атомного ядра, энергия связи. 3
§ 2 Масс-спектроскопические методы
измерения масс и аппаратура. 7
§ 3. Полуэмпирические формулы для
вычисления масс ядер и энергий связи ядер. 12
п.3.1. Старые полуэмпирические формулы. 12
п.3.2. Новые полуэмпирические формулы
с учетом влияния оболочек 16
Литература 24
§1. Дефект массы – характеристика атомного ядра, энергия связи.
Задача о нецелочисленности атомного веса изотопов долго волновала
учёных, но теория относительности, установив связь между массой и энергией
тела (E=mc2), дала ключ к решению этой задачи, а протон-нейтронная модель
атомного ядра оказалась тем замком, к которому этот ключ подошёл. Для
решения данной задачи понадобятся некоторые сведения о массах элементарных
частиц и атомных ядер (табл. 1.1).
Таблица 1.1
Масса и атомный вес некоторых частиц
|Частица |Символ |Масса, кг |Масса в физической |
| | | |шкале[1] |
|Электрон |e |(9,1083(0,0003)(10-31 |(5,48763(0,00006)(10–4 |
|Протон |[pic] |(1,67239(0,00004)(10-27|1,007593(0,000003 |
|Нейтрон |[pic] |(1,67470(0,00004)(10-27|1,008982(0,000003 |
|Альфа-частица |[pic] |(6,6433(0,0001)(10-27 |4,002780(0,000006 |
(Массы нуклидов и их разности определяют опытным путем с помощью: масс-
спектроскопических измерений; измерений энергий различных ядерных реакций;
измерений энергий ?- и ?-распадов; микроволновых измерений, дающих
отношение масс или их разностей.)
Сравним массу (-частицы, т.е. ядра гелия, с массой двух протонов и двух
нейтронов, из которых оно состоит. Для этого из суммы удвоенной массы
протона и удвоенной массы нейтрона вычтем массу (-частицы и полученную
таким образом величину назовём дефектом массы
(m=2Mp+2Mn-M(=0,03037 а.е.м. (1.1)
Атомная единица массы
mа.е.м.= (1,6597(0,0004)(10-27 кг. (1.2)
Пользуясь формулой связи между массой и энергией, делаемой теорией
относительности, можно определить величину энергии, которая соответствует
этой массе, и выразить её в джоулях или, что более удобно, в
мегаэлектронвольтах (1 Мэв=106 эв). 1 Мэв соответствует энергии,
приобретаемой электроном, прошедшим разность потенциалов в миллион вольт.
Энергия, соответствующая одной атомной единице массы, равна
E=mа.е.м.( с2=1,6597( 10-27( 8,99 ( 1016=1,49 ( 10-10 дж=931 Мэв. (1.3)
Наличие у атома гелия дефекта массы ((m = 0,03037 а.е.м.) означает, что при
его образовании была излучена энергия (Е=(mс2= 0,03037( 931=28 Мэв). Именно
эту энергию нужно приложить к ядру атома гелия для того, чтобы разложить
его на отдельные частицы. Соответственно на одну частицу приходится
энергия, в четыре раза меньшая. Эта энергия характеризует прочность ядра и
является важной его характеристикой. Её называют энергией связи,
приходящейся на одну частицу или на один нуклон (р). Для ядра атома гелия
р=28/4=7 Мэв, для других ядер она имеет иную величину.
В сороковые годы ХХ века благодаря работам Астона, Демпстера и других
ученых с большой точностью были определены значения дефекта массы и
вычислены энергии связи для ряда изотопов. На рис.1.1 эти результаты
представлены в виде графика, на котором по оси абсцисс отложен атомный вес
изотопов, а по оси ординат – средняя энергия связи частицы в ядре.
Анализ этой кривой интересен и важен, т.к. по ней, и очень наглядно,
видно, какие ядерные процессы дают большой выход энергии. По существу
ядерная энергетика Солнца и звёзд, атомных электростанций и ядерного оружия
является реализацией возможностей, заложенных в тех соотношениях, которые
показывает эта кривая. Она имеет несколько характерных участков. Для
лёгкого водорода [pic] энергия связи равна нулю, т.к. в его ядре всего одна
частица. Для гелия [pic] энергия связи на одну частицу составляет 7 Мэв.
Таким образом, переход от водорода к гелию связан с крупным энергетическим
скачком. У изотопов среднего атомного веса: железа, никеля и др. энергия
связи частицы в ядре наибольшая (8,6 Мэв) и соответственно ядра этих
элементов наиболее прочные. У более тяжёлых элементов энергия связи частицы
в ядре меньше и поэтому их ядра относительно менее прочные. К таким ядрам
относится и ядро атома урана-235.
Чем больше дефект массы ядра, тем большая энергия излучена при его
образовании. Следовательно, ядерное превращение, при котором происходит
увеличение дефекта массы, сопровождается добавочным излучением энергии.
Рисунок 1.1 показывает, что имеются две области, в которых эти условия
выполняются: переход от самых лёгких изотопов к более тяжёлым, например, от
водорода к гелию, и переход от самых тяжёлых, например урана, к ядрам
атомов среднего веса.
Так же есть часто используемая величина, несущая в себе ту же
информацию, что и дефект масс – упаковочный коэффициент (или множитель).
Упаковочный коэффициент характеризует стабильность ядра, его график
представлен на рисунке 1.2.
Рис. 1.2. Зависимость упаковочного коэффициента от массового числа
§ 2. Масс-спектроскопические методы измерения
масс и аппаратура.
Наиболее точные измерения масс нуклидов, произведенные методом дублетов
и использованные для вычисления масс, были выполнены на масс-спектроскопах
с двойной фокусировкой и на динамическом приборе – синхрометре.
Один из советских масс-спектрографов с двойной фокусировкой типа
Бейнбриджа – Иордана был построен М. Арденне, Г. Егером, Р. А.
Демирхановым, Т. И. Гуткиным и В. В. Дороховым. Все масс-спектроскопы с
двойной фокусировкой имеют три основные части: источник ионов, электро-
статический анализатор и магнитный анализатор. Электростатический анали-
затор разлагает пучок ионов по энергиям в спектр, из которого щель вырезает
некоторую центральную часть. Магнитный анализатор фокусирует ионы раз-ной
энергии в одной точке, так как ионы с разной энергией проходят в секторном
магнитном поле различные пути.
Масс-спектры регистрируются на фотопластинках, расположенных в фото-
камере. Шкала прибора почти в точности линейная, и при определении диспер-
сии в центре пластины нет необходимости применять формулу с поправочным
квадратичным членом. Средняя разрешающая способность около 70 000.
Другой отечественный масс-спектрограф сконструирован В. Шютце при
участии Р. А. Демирханова, Т. И. Гуткина, О. А. Самадашвили и И. К.
Карпенко. На нем выполнены измерения масс нуклидов олова и сурьмы,
результаты которых использованы в таблицах масс. Этот прибор имеет
квадратичную шкалу и обеспечивает двойную фокусировку для всей шкалы масс.
Средняя разрешающая способность прибора около 70 000.
Из зарубежных масс-спектроскопов с двойной фокусировкой наиболее точным
является новый масс-спектрометр Нира – Робертса с двойной фокусировкой и
новым методом регистрации ионов (рис. 2.1). Он имеет 90-градусный
электростатический анализатор с радиусом кривизны Re=50,8 см и 60-градусный
магнитный анализатор с радиусом кривизны оси ионного пучка Rm=40,6 см.
Рис. 2.1. Большой масс-спектрометр Нира – Робертса с двойной
фокусировкой Миннесстского университета:
1 – источник ионов; 2 – электростатический анализатор; 3 – магнитный
анализатор; 4 – электронный умножитель для регистрации тока; S1 – входная
щель; S2 – апертурная щель; S3 – щель в плоскости изображения
электростатического анализатора; S4 – щель в плоскости изображения
магнитного анализатора.
Полученные в источнике ионы ускоряются разностью потенциалов Ua=40 кв и
фокусируются на входной щели S1 шириной около 13 мкм; такова же ширина щели
S4, на которую проектируется изображение щели S1. Апертурная щель S2 имеет
ширину около 200 мкм, щель S3, на которую электростатическим анализатором
проектируется изображение щели S1, имеет ширину около 400 мкм. За щелью S3
расположен зонд, облегчающий подбор отношений Ua/Ud, т. е. ускоряющего
потенциала Ua источника ионов и потенциалов анализатора Ud.
На щель S4 магнитным анализатором проектируется изображение источника
ионов. Ионный ток силой 10–12 – 10–9 а регистрируется электронным
умножителем. Можно регулировать ширину всех щелей и перемещать их снаружи,
не нарушая вакуума, что облегчает юстировку прибора.
Существенное отличие этого прибора от предыдущих – применение
осциллографа и развертывание участка спектра масс, впервые примененное
Смитом для синхрометра. При этом пилообразные импульсы напряжения
используются -одновременно для перемещения луча в трубке осциллографа и для
модуляции магнитного поля в анализаторе. Глубина модуляции подбирается
такой, чтобы масс-спектр развертывался у щели примерно на удвоенную ширину
одной линии дублета. Это мгновенное развертывание пика массы сильно
облегчает фокусировку.
Как известно, если масса иона М изменилась на ?М, то для того чтобы
траектория иона в данном электромагнитном поле осталась прежней, следует
все электрические потенциалы изменить в ?М/М раз. Таким образом, для
перехода от одной легкой составляющей дублета с массой М к другой
составляющей, имеющей массу на ?M большую, необходимо первоначальные
разности потенциалов, приложенные к анализатору Ud, и к источнику ионов Ua,
изменить соответственно на ?Ud и ?Ua так, чтобы
[pic] (2.1)
Следовательно, разность масс ?M дублета можно измерить по разности
потенциалов ?Ud, необходимой для того, чтобы сфокусировать вместо одной
составляющей дублета другую.
Разность потенциалов подается и измеряется по схеме изображенной на
рис. 2.2. Все сопротивления, кроме R*, манганиновые, эталонные, заключены в
термостат. R= R' =3 371 630 ± 65 ом. ?R может изменяться от 0 до 100000 Oм,
так что отношение ?R/R известно с точностью до 1/50000. Сопротивление ?R
подобрано так, что при положении реле, включенном на контакт А, на щели S4,
оказывается сфокусированной одна линия дублета, а при положении реле на
контакт В – другая линия дублета. Реле – быстродействующее, переключается
после каждого цикла развертывания в осциллографе, поэтому на экране можно
видеть одновременно развертки обеих линий дублета. Изменение потенциала
?Ud, вызванное добавочным сопротивлением ?R, можно считать подобранным,
если обе развертки совпадают. При этом другая аналогичная схема с
синхронизированным реле должна обеспечить изменение ускоряющего напряжения
Uа на ?Ua так, чтобы
[pic] (2.2)
Тогда разность масс дублета ?M можно определить по дисперсионной
формуле
[pic] (2.3)
Частота развертки обычно довольно велика (например, 30 сек -1), поэтому
шумы источников напряжения должны быть минимальны, но длительная
устойчивость не обязательна. В этих условиях идеальным источником являются
батареи.
Разрешающая сила синхрометра ограничена требованием сравнительно
больших ионных токов, так как частота развертки велика. В данном приборе
наибольшее значение разрешающей силы – 75000, но, как правило, оно меньше;
наименьшее значение – 30000. Такая разрешающая сила позволяет отделить
основные ионы от ионов примесей почти во всех случаях.
При измерениях считалось, что погрешность состоит из статистической
погрешности и погрешности, вызванной неточностью калибровки сопротивлений.
Перед началом работы спектрометра и при определении различных разностей
масс проводили серию контрольных измерений. Так, через определенные
промежутки времени работы прибора измерялись контрольные дублеты O2 – S и
C2H4 – СО, в результате чего было установлено, что в течение нескольких
месяцев никаких изменений не произошло.
Для проверки линейности шкалы одну и ту же разность масс определяли при
разных массовых числах, например по дублетам СН4 – О, С2Н4 – СО и Ѕ(C3H8 –
CO2). В результате этих контрольных измерений были получены значения,
отличающиеся друг от друга лишь в пределах погрешностей. Эта проверка была
проделана для четырех разностей масс, и согласие получилось очень хорошее.
Правильность результатов измерений подтвердилась также измерением трех
разностей масс триплетов. Алгебраическая сумма трех разностей масс в
триплете должна быть равна нулю. Результаты таких измерений для трех
триплетов при разных массовых числах, т. е. в разных частях шкалы,
оказались удовлетворительными.
Последним и очень важным контрольным измерением для проверки
правильности дисперсионной формулы (2.3) было измерение массы атома
водорода при больших массовых числах. Это измерение проделали один раз для
А =87, как разность масс дублета C4H8O2 – С4Н7O2. Результаты
1,00816±2 а. е. м. с погрешностью до 1/50000 согласуются с измеренной
массой Н, равной 1,0081442±2 а. е. м., в пределах погрешности измерения
сопротивления ?R и погрешности калибровки сопротивлений для этой части
шкалы.
Все эти пять серий контрольных измерений показали, что формула
дисперсии пригодна для данного прибора, а результаты измерений достаточно
надежны. Данные измерений, выполненных на этом приборе, были использованы
для составления таблиц.
§ 3. Полуэмпирические формулы для вычисления масс ядер и энергий
связи ядер.
п.3.1. Старые полуэмпирические формулы.
По мере развития теории строения ядра и появления различных моделей
ядра возникли попытки создания формул для вычисления масс ядер и энергий
связи ядер. Эти формулы основываются на существующих теоретических
представлениях о строении ядра, но при этом коэффициенты в них вычисляются
из найденных экспериментальных масс ядер. Такие формулы частично основанные
на теории и частично выведенные из опытных данных, называют
полуэмпирическими формулами.
Полуэмпирическая формула масс имеет вид:
M(Z, N)=ZmH+Nmn-EB(Z, N), (3.1.1)
где M(Z, N) – масса нуклида с Z протонами и N – нейтронами; mH – масса
нуклида Н1; mn – масса нейтрона; EB(Z, N) – энергия связи ядра.
Эта формула, основанная на статистической и капельной моделях ядра,
предложена Вейцзекером. Вейцзекер перечислил известные из опыта
закономерности изменения масс:
1. Энергии связи легчайших ядер возрастают очень быстро с массовыми
числами.
2. Энергии связи ЕВ всех средних и тяжёлых ядер возрастают
приблизительно линейно с массовыми числами А.
3. Средние энергии связи на один нуклон ЕВ/А лёгких ядер возрастают до
А?60.
4. Средние энергии связи на один нуклон ЕВ/А более тяжёлых ядер после
А?60 медленно убывают.
5. Ядра с чётным числом протонов и чётным числом нейтронов имеют
несколько большие энергии связи, чем ядра с нечётным числом
нуклонов.
6. Энергия связи стремится к максимуму для случая, когда числа протонов
и нейтронов в ядре равны.
Вейцзекер учёл эти закономерности при создании полуэмпирической формулы
энергии связи. Бете и Бечер несколько упростили эту формулу:
EB(Z, N)=E0+EI+ES+EC+EP. (3.1.2)
и её часто называют формулой Бете-Вейцзекера. Первый член Е0 – часть
энергии, пропорциональная числу нуклонов; ЕI – изотопический или изобарный
член энергии связи, показывающий, как изменяется энергия ядер при
отклонении от линии наиболее устойчивых ядер; ЕS – поверхностная или
свободная энергия капли нуклонной жидкости; ЕС – кулоновская энергия ядра;
ЕР – парная энергия.
Первый член равен
Е0 = ?А. (3.1.3)
Изотопический член ЕI есть функция разности N–Z. Т.к. влияние
электрического заряда протонов предусматривается членом ЕС, ЕI есть
следствие только ядерных сил. Зарядовая независимость ядерных сил, особенно
сильно ощущаемая в лёгких ядрах, приводит к тому, что ядра наиболее
устойчивы при N=Z. Так как уменьшение устойчивости ядер не зависит от знака
N–Z, зависимость ЕI от N–Z должна быть по меньшей мере квадратичной.
Статистическая теория даёт следующее выражение:
ЕI = –?(N–Z)2А–1. (3.1.4)
Поверхностная энергия капли с коэффициентом поверхностного натяжения ?
равна
ЕS=4?r2?. (3.1.5)
Кулоновский член есть потенциальная энергия шара, заряженного
равномерно по всему объёму зарядом Ze:
[pic] (3.1.6)
Подставив в уравнения (3.1.5) и (3.1.6) радиус ядра r=r0A1/3, получим
[pic] (3.1.7)
[pic] (3.1.8)
а подставив (3.1.7) и (3.1.8) в (3.1.2), получим
[pic]. (3.1.9)
Постоянные ?, ? и ? подбирают такими, чтобы формула (3.1.9) лучшим
образом удовлетворяла всем значениям энергий связи, вычисленным по
экспериментальным данным.
Пятый член, представляющий парную энергию, зависит от четности числа
нуклонов:
(3.1.10)
Ферми уточнил также постоянные по новым экспериментальным данным.
Полуэмпирическая формула Бете-Вейцзекера, выражающая массу нуклида в старых
единицах (16О=16), получилась такой:
(3.1.11)
Для четных нуклидов ? = –1; для нуклидов с нечетным А ? = 0; для
нечетных нуклидов ? = +1.
К сожалению, эта формула весьма устарела: расхождения с действительными
величинами масс может достигать даже 20 Мэв и имеет среднее значение около
10 Мэв.
В многочисленных дальнейших работах первоначально лишь уточняли
коэффициенты или вводили некоторые не слишком важные дополнительные члены.
Метрополис и Рейтвизнер еще раз уточнили формулу Бете–Вейцзекера:
(3.1.12)
Для четных нуклидов ? = –1; для нуклидов с нечетным А ? = 0; для
нечетных нуклидов ? = +1.
Вапстра предложил учитывать влияние оболочек с помощью члена такого
вида:
[pic] (3.1.13)
где Ai, Zi и Wi – эмпирические постоянные, подбираемые по опытным данным
для каждой оболочки.
Грин и Эдварс ввели в формулу масс следующий член, характеризующий
| 
