Большая коллекция рефератов

No Image
No Image

Реклама

Счетчики

Опросы

Оцените наш сайт?

No Image

Динамика твердого тела

Динамика твердого тела

Министерство образования и науки

Республики Казахстан

Карагандинский Государственный Университет

имени Е.А.Букетова

Кафедра общей и теоретический физики

Курсовая работа

на тему:

Динамика твердого тела

Подготовил:

________________

________________

Проверил:

________________

________________

Караганды – 2003г.

Введение

o I. Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси

. Кинетическая энергия вращающегося тела и работа внешних сил (ось

вращения неподвижна)

. Свободные оси. Устойчивость свободного вращения

. Центр удара

o II. Плоское движение твердого тела

. Кинетическая энергия при плоском движении

Заключение

Введение

В общем случае абсолютно твердое тело имеет 6 степеней свободы, и для

описания его движения необходимы 6 независимых скалярных уравнений или 2

независимых векторных уравнения.

Вспомним, что твердое тело можно рассматривать как систему материальных

точек, и, следовательно, к нему применимы те уравнения динамики, которые

справедливы для системы точек в целом.

Обратимся к опытам.

Возьмем резиновую палку, утяжеленную на одном из концов и имеющую

лампочку точно в центре масс (рис. 3.1). Зажжем лампочку и бросим палку из

одного конца аудитории в другой, сообщив ей произвольное вращение -

траекторией лампочки будет при этом парабола - кривая, по которой полетело

бы небольшое тело, брошенное под углом к горизонту.

|[pic] |

|Рис. 3.1. |

Стержень, опирающийся одним из концов на гладкую горизонтальную

плоскость (рис.1.16), падает таким образом, что его центр масс остается на

одной и той же вертикали - нет сил, которые сдвинули бы центр масс стержня

в горизонтальном направлении.

Опыт, который был представлен на рис. 2.2 а, в, свидетельствует о том,

что для изменения момента импульса тела существенна не просто сила, а ее

момент относительно оси вращения.

Тело, подвешенное в точке, не совпадающей с его центром масс

(физический маятник), начинает колебаться (рис. 3.2а) - есть момент силы

тяжести относительно точки подвеса, возвращающий отклоненный маятник в

положение равновесия. Но тот же маятник, подвешенный в центре масс,

находится в положении безразличного равновесия (рис. 3.2б).

|[pic] |

|Рис. 3.2. |

Роль момента силы наглядно проявляется в опытах с "послушной" и

"непослушной" катушками (рис. 3.3). Плоское движение этих катушек можно

представить как чистое вращение вокруг мгновенной оси, проходящее через

точку соприкосновения катушки с плоскостью. В зависимости от направления

момента силы F относительно мгновенной оси катушка либо откатывается (рис.

3.За), либо накатывается на нитку (рис. 3.Зб). Держа нить достаточно близко

к горизонтальной плоскости, можно принудить к послушанию самую

"непослушную" катушку.

|[pic] |

|Рис. 3.3. |

Все эти опыты вполне согласуются с известными законами динамики,

сформулированными для системы материальных точек: законом движения центра

масс и законом изменения момента импульса системы под действием момента

внешних сил. Таким образом, в качестве двух векторных уравнений движения

твердого тела можно использовать:

Уравнение движения центра масс

|[pic] |(3.1) |

Здесь [pic]- скорость центра масс тела, [pic]- сумма всех внешних сил,

приложенных к телу.

Уравнение моментов

|[pic] |(3.2) |

Здесь L- момент импульса твердого тела относительно некоторой точки,

[pic]- суммарный момент внешних сил относительно той же самой точки.

К уравнениям (3.1) и (3.2), являющимся уравнениями динамики твердого

тела, необходимо дать следующие комментарии:

1. Внутренние силы, как и в случае произвольной системы материальных

точек, не- влияют на движение центра масс и не могут изменить момент

импульса тела.

2. Точку приложения внешней силы можно произвольно перемещать вдоль

линии, по которой действует сила. Это следует из того, что в модели

абсолютно твердого тела локальные деформации, возникающие в области

приложения силы, в расчет не принимаются. Указанный перенос не повлияет и

на момент силы относительно какой бы то ни было точки, так как плечо силы

при этом не изменится.

Векторы L и M в уравнении (3.2), как правило, рассматриваются

относительно некоторой неподвижной в лабораторной системе XYZ точки. Во

многих задачах L и M удобно рассматривать относительно движущегося центра

масс тела. В этом случае уравнение моментов имеет вид, формально

совпадающий с (3.2). В самом деле, момент импульса тела [pic]относительно

движущегося центра .масс О связан с моментом импульса [pic]относительно

неподвижной - точки O' соотношением:

|[pic] |(3.3) |

где R - радиус-вектор от O' к О, p - полный импульс тела. Аналогичное

соотношение легко может быть получено и для моментов силы:

|[pic] |(3.4) |

где F - геометрическая сумма всех сил, действующих на твердое тело.

Поскольку точка O' неподвижна, то справедливо уравнение моментов (3.2):

|[pic] |(3.5) |

Тогда

|[pic] |(3.6) |

Величина [pic]есть скорость точки О в лабораторной системе XYZ.

Учитывая (3.4), получим

|[pic] |(3.7) |

Поскольку движущаяся точка O - это центр масс тела, то [pic]([pic] -

масса тела), [pic]и [pic]то есть уравнение моментов относительно

движущегося центра масс имеет такой же вид, что и относительно неподвижной

точки. Скорости всех точек тела при определении [pic]следует брать

относительно центра масс тела.

Ранее было показано, что произвольное движение твердого тела можно

разложить на поступательное (вместе с системой x0y0z0, начало которой

находится в некоторой точке - полюсе, жестко связанной с телом) и

вращательное (вокруг мгновенной оси, проходящей через полюс). С точки

зрения кинематики выбор полюса особого значения не имеет, с точки же зрения

динамики полюс, как теперь понятно, удобно поместить в центр масс. Именно в

этом случае уравнение моментов (3.2) может быть записано относительно

центра масс (или оси, проходящей через центр масс) как относительно

неподвижного начала (или неподвижное оси).

Если [pic]не зависит от угловой скорости тела, а [pic]- от скорости

центра масс, то уравнения (3.1) и (3.2) можно рассматривать независимо друг

от друга. В этом случае уравнение (3.1) соответствует просто задаче из

механики точки, а уравнение (3.2) - задаче о вращении твердого тела вокруг

неподвижной точки или неподвижной оси. Пример ситуации, когда уравнения

(3.1) и (3.2) нельзя рассматривать независимо - движение вращающегося

твердого тела в вязкой среде.

Далее в этой лекции мы рассмотрим уравнения динамики для трех частных

случаев движения твердого тела: вращения вокруг неподвижной оси, плоского

движения и, наконец, движения твердого тела, имеющего ось симметрии и

закрепленного в центре масс.

I. Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси.

В этом случае движение твердого тела определяется уравнением

|[pic] |

Здесь [pic]- это момент импульса относительно оси вращения, то есть

проекция на ось момента импульса, определенного относительно некоторой

точки, принадлежащей оси. [pic]- это момент внешних сил относительно оси

вращения, то есть проекция на ось результирующего момента внешних сил,

определенного относительно некоторой точки, принадлежащей оси, причем выбор

этой точки на оси, как и в случае с [pic]значения не имеет. Действительно

(рис. 3.4), [pic]где [pic]- составляющая силы, приложенной к твердому телу,

перпендикулярная оси вращения, [pic]- плечо силы [pic]относительно оси.

|[pic] |

|Рис. 3.4. |

Поскольку [pic]([pic] - момент инерции тела относительно оси вращения),

то вместо [pic]можно записать

|[pic] |(3.8) |

или

|[pic] |(3.9) |

поскольку в случае твердого тела [pic]

Уравнение (3.9) и есть основное уравнение динамики вращательного

движения твердого тела вокруг неподвижной оси. Его векторная. форма имеет

вид:

|[pic] |(3.10) |

Вектор [pic]всегда направлен вдоль оси вращения, а [pic]- это

составляющая вектора момента силы вдоль оси.

В случае [pic]получаем [pic]соответственно и момент импульса

относительно оси [pic]сохраняется. При этом сам вектор L, определенный

относительно какой-либо точки на оси вращения, может меняться. Пример

такого движения показан на рис. 3.5.

|[pic] |

|Рис. 3.5. |

Стержень АВ, шарнирно закрепленный в точке А, вращается по инерции

вокруг вертикальной оси таким образом, что угол [pic]между осью и стержнем

остается постоянным. Вектор момента импульса L, относительно точки А

движется по конический поверхности с углом полураствора [pic]однако

проекция L на вертикальную ось остается постоянной, поскольку момент силы

тяжести относительно этой оси равен нулю.

Кинетическая энергия вращающегося тела и работа внешних сил (ось

вращения неподвижна).

Скорость i -й частицы тела

|[pic] |(3.11) |

где [pic]- расстояние частицы до оси вращение Кинетическая энергия

|[pic] |(3.12) |

так как угловая скорость вращения для всех точек одинакова.

В соответствии с законом изменения механической энергии системы

элементарная работа всех внешних сил равна приращению кинетической энергии

тела:

|[pic] |(3.13) |

Работа внешних сил при повороте тела на конечный угол [pic]равна

|[pic] |(3.14) |

опустим, что диск точила вращается по инерции с угловое скоростью

[pic]и мы останавливаем его, прижимая какой-либо предмет к краю диска с


No Image
No Image No Image No Image


No Image
Все права защищены © 2010
No Image