Большая коллекция рефератов

No Image
No Image

Реклама

Счетчики

Опросы

Оцените наш сайт?

No Image

Вывод и анализ формул Френеля на основе электромагнитной теории Максвелла

Вывод и анализ формул Френеля на основе электромагнитной теории Максвелла

МГТУ им Н.Э.Баумана

гр. ФН2-41

Котов В.Э.

Вывод и анализ формул Френеля на основе электромагнитной теории

Максвелла.

(по материалам лекций Толмачева В.В.)

Постановка задачи

Пусть имеются две диэлектрические среды 1 и 2 , с электрической и

магнитной проницаемостью [pic] и [pic] соответственно. Из среды 1 в 2

падает плоская монохроматическая волна (границу раздела будем считать

плоской).При переходе через границу раздела волна разделится на две

части : отраженную волну (в среде 1) и преломленную волну (в среде 2)

, необходимо выяснить соотношения между углами [pic] и [pic], а также

между интенсивностями падающей и отраженной волн (рис 1).

[pic]

рис.1

Данная волна должна представлять собой точное решение уравнений

Максвелла : [pic] и [pic] (1) (учитывая , что среда диэлектрическая

, т.е. [pic])

для плоской монохроматической волны точное решение этих уравнений будет

(если оси Х направить в сторону распространения волны):

[pic] и [pic] ([pic]=[pic]=0) (2)

где A и B , [pic] и [pic], [pic]- постоянные (не зависят от времени и

координаты) ,

[pic] и[pic] - характеристики среды , в которой распространяется

волна ,

[pic] , t - рассматриваемый момент времени

x - рассматриваемая координата на оси Х

V - скорость распространения волны в

данной среде

(естественно , в силу линейности уравнений Максвелла любая сумма таких

волн будет также их точным решением )

Также она должна удовлетворять условиям на границе раздела : [pic]и

[pic] не терпят разрыва на поверхности раздела , [pic] и [pic] также не

терпят разрыва , поскольку на границе раздела не течет ток и нет

поверхностной плотности заряда:

[pic] (3)

(индексом 1 обозначаем все , относящееся к первой среде , индексом 2 -

ко второй)

Таким образом , необходимо построить точное решение уравнений (1)

, удовлетворяющих условиям (3). Для этого рассмотрим два случая :

случай ТМ -волны (р-волны ) - вектор [pic]перпендикулярен плоскости

падения (трансверсальная магнитная) , и случай ТЕ-волны (s-волны)-

вектор [pic] перпендикулярен плоскости падения (трансверсальная

электрическая). Любая плоская волна (с любой поляризацией) может быть

представлена как линейная комбинация двух таких волн.

Случай ТМ -волны (p - волны)

[pic]

рис.2

Из рисунка видео , что [pic] , запишем условия равенства [pic] на

границе раздела :

[pic] ( учитывая , что волна в среде 1 есть сумма падающей и

отраженной волн)

подставляем значения[pic]:

[pic]

подставляем [pic] из (2) :

[pic]

Аналогично , поскольку [pic] получаем для вектора [pic]на границе

раздела:

[pic] ( c учетом (2) )

[pic]

для выполнения равенств для [pic]и [pic] потребуем равенства

аргументов косинусов :

[pic]

потребуем также равенства начальных фаз: [pic]

из рисунка видно , что : [pic] [pic], [pic] (4)

([pic],[pic]и [pic] - соответственно : угол падения , угол отражения и

угол преломления ) , тогда имеем :

[pic]

[pic]

[pic]

из равенства аргументов получаем :

[pic]

(т.к. [pic] , [pic] )

[pic]т.е. получены , как и следовало ожидать , законы отражения и

преломления света

разделим теперь выражения для[pic]и [pic]на [pic] , получим (c учетом

(4) ) следующую систему :

[pic] (5)

здесь неизвестными являются [pic]и [pic] , а [pic] - заданно.

Умножим первое уравнение на [pic] а второе на [pic] и вычтем из

первого второе , тогда члены с[pic] сократятся и получим:

[pic]

поскольку для неферромагнетиков магнитная проницаемость[pic]

незначительно отличается от единицы , то для сравнительно широкого

класса сред можно считать [pic], тогда:

[pic].

( разделим числитель и знаменатель на [pic], и учтя , что[pic] )

применив закон преломления , получим (6):

из второго уравнения системы (5) получаем для [pic]:

[pic] (поскольку полагаем [pic],) , тогда:

[pic][pic] (7)

проверим теперь выполнение еще двух условий на границе раздела ,которые

мы не учли -[pic] и [pic]. Второе равенство выполняется заведомо ,

поскольку [pic], проверим первое равенство [pic] :

из рисунка видно , что [pic] , а [pic] подставим значения

[pic],[pic] и [pic]( из 2) , сократив сразу на [pic] , и учитывая (4)

:

[pic](выражая [pic]через второе уравнение системы (5) )

[pic]

Таким образом действительно получено точное решение уравнений (2) ,

удовлетворяющее всем начальным условия. Итак , имеем следующие формулы

Френеля для случая s-волны для отражения и преломления (из (6) и (7) ):

[pic] и [pic]

Случай ТЕ -волны ( s - волны)

[pic]

рис.3

Из рисунка видно , что [pic]

Условия (3) для [pic] и [pic]:

[pic]

подставляя значения [pic]и [pic] из (2) получим :

[pic]как и в случае ТМ-волны предполагаем равенство аргументов

косинусов и совершенно аналогично получаем в этом случае закон

отражения и преломления света , сокращая на [pic]и с учетом (4)

получим систему :

[pic] (8)

умножим первое уравнение на [pic] а второе на [pic] и вычтем из

первого второе :

[pic]

[pic]

поскольку мы полагаем [pic] (см. выше) то [pic]

[pic] (9)

из второго уравнения системы (8) получаем:

[pic] (10)

проверим теперь неучтенные условия на границе раздела : [pic] и

[pic] .

Второе условие выполняется , поскольку [pic] , проверим выполнение

равенства : [pic] из рисунка видно , что [pic] , а [pic] подставим

значения [pic],[pic] и [pic]( из 2) , сократив сразу на [pic] , и

учитывая (4) получим : [pic]

подставляем [pic] из второго уравнения системы (8) :

[pic]

таким образом мы действительно нашли точное решение уравнений (2) ,

удовлетворяющее всем начальным условиям . В случае p-волны имеем

следующие формулы Френеля для отражения и преломления (из (9) и (10))

[pic] и [pic]

Анализ формул Френеля

Исследуем отношения энергий (точнее плотности потока энергий ) падающей

и отраженной ТМ и ТЕ волн и падающей и прошедшей волн в зависимости

от угла падения [pic]. Для этого рассмотрим отношение нормальной

составляющей вектора Пойтинга [pic] падающей и отраженной ([pic] и

[pic] в случае ТМ и ТЕ волн соответственно) и падающей и прошедшей

([pic]

и [pic]) волн. Тогда с из полученных формул Френеля для отражения и

преломления , с учетом (2) будем иметь:

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

А. Отражение

Исследуем сначала поведение [pic]и [pic] на границах отрезка [pic]:

при [pic] (просто положить [pic] равным нулю нельзя , потому что будет

неопределенность ):

[pic]

[pic]

[pic]

для случая падения из воздуха в стекло ([pic]) : [pic]

т.е. это величина порядка нескольких процентов (можно заметить , что

если поменять среды местами - т.е. рассматривать падение из воды в

воздух , то это значение не изменится)

В случае падения из оптически менее плотной среды в оптически более

плотную при[pic]:

[pic] [pic]

Действительно, преломленной волны при скользящем падении не

образуется и интенсивность падающей волны не

меняется.

В случае падения из оптически более плотной среды в оптически менее

плотную , необходимо учесть явление полного внутреннего отражения ,

когда прошедшей волны нет - вся волна отражается от поверхности

раздела. Это происходит при значениях [pic] больших , чем [pic],

вычисляемого следующим образом:

[pic][1]

Для падения из стекла в воздух [pic]

Здесь не рассматривается полное внутреннее отражение , поэтому [pic] в

случае падения из оптически более плотной среды в оптически менее

плотную изменяется до [pic], в этом случае:

[pic] [pic]

Далее исследуем поведение этих функций между крайними точками , для

этого исследуем на монотонность функции: [pic] и [pic]

Нам понадобится производная [pic], найдем ее как производную функции ,

заданной неявно :

[pic]

[pic]Знак этой производной ( поскольку [pic] , [pic]) зависит только

от знака выражения [pic] , это выражение > 0 , когда [pic] (то есть

падение из оптически мене плотной среды в оптически более плотную ) и

<0 , когда [pic] (из более оптически плотной в менее оптически

плотную ) , следовательно в первом случае [pic] монотонно

возрастает, а во втором , убывает . Но в случае [pic] [pic] ,

следовательно по модулю это выражение будет возрастать , в

случае[pic][pic] оно также будет по модулю возрастать . Таким образом

, [pic] , как квадрат этого выражения , в обоих случаях монотонно

возрастает от [pic]при [pic] до 1 при [pic].или[pic].

[pic]

Знак этой производной ,( поскольку [pic] ,

есть >0 при [pic] и <0 при [pic].

Знак функции [pic] меняется следующим образом :

при[pic] если [pic] невелико[pic]>0 , но эта функция проходит через

нуль. Поскольку числитель , при рассматриваемых пределах изменения

[pic] в 0 обращаться не может[2] это происходит тогда , когда

знаменатель обращается в бесконечность т.е.:

[pic]

Это есть угол Брюстера ([pic]) , при котором [pic] обращается в 0 , то

есть отраженная волна отсутствует . Для случая падения из воздуха в

стекло [pic], для обратного случая (из стекла в воздух) [pic]При

переходе через этот угол [pic] меняет знак на минус , следовательно

[pic] как квадрат этой функции сначала убывает (до нуля) , а затем

возрастает (до 1).

При [pic] для небольших[pic][pic]<0 , при переходе через [pic] знак

будет меняться на плюс. Переход через [pic] действительно будет иметь

место , хотя [pic] изменяется до [pic] ,а не до [pic] , поскольку

[pic]. Таким образом [pic] снова монотонно убывает до 0 , а затем

монотонно возрастает до 1.

Итак , в обоих случаях [pic] сначала монотонно убывает от [pic]при

[pic] до 0 при [pic] , а затем монотонно возрастает до 1 при [pic] или

[pic].

Полученные зависимости иллюстрируются следующими графиками :

на первом показана зависимость [pic](сплошная линия) и [pic](пунктирная

линия) от [pic] для случая падения волны из воздуха в стекло (n=1.51)

[pic]

на втором -для случая падения волны из стекла в воздух

[pic]

В. Преломление

Для анализа поведения [pic] и [pic] воспользуемся следующим

соображением - падающая волна на границе раздела разделяется на две -

прошедшую и отраженную , причем энергия падающей волны (энергия ,

переносимая волной через границу раздела сред) уходит в энергию

отраженной и преломленной волн (поскольку никаких других источников

нет). Поэтому , поскольку коэффициент [pic] показывает отношение

энергии прошедшей волны к энергии падающей , [pic] - отношение энергии

отраженной волны к энергии падающей в p-волне , а [pic] и [pic] -

аналогичные отношения в s-волне , должны выполнятся соотношения :

[pic] и [pic]

Действительно , проверим это :

[pic]

рассмотрим отдельно числитель:

[pic]таким образом действительно [pic] , аналогично

[pic]

Таким образом , используя предыдущее исследование [pic] ,[pic] можно

сказать , что :

[pic]

Для случая падения из воздуха в стекло (а можно заметить , что если

среды поменять местами , то это значение не изменится ) [pic]

[pic]

Между этими точками [pic] и [pic] ведут себя противоположно [pic]и

[pic] .

Окончательно , [pic] монотонно возрастает от [pic] ([pic] )до [pic] ,

а затем монотонно убывает до 0 ( при [pic] ) , [pic] монотонно убывает

от [pic] до 0 (при тех же пределах изменения[pic]). Причем как для

случая падения из менее оптически плотной среды , так и из более

оптически плотной. Ниже на рисунке представлены графически зависимости

для обоих этих случаев.

[pic]

С. Набег фаз при отражении и преломлении

Из формул Френеля следует , что отношения [pic],[pic],[pic]и [pic]

могут в принципе получится и отрицательными . Поскольку амплитуда есть

существенно положительная величина , в этом случае имеет место сдвиг

фазы волны на[pic] . Далее выясним , когда такой сдвиг имеет место.

В случае отраженной p-волны [pic] , как установлено в п. А , эта

функция

при n>1 больше 0 при [pic] и меньше 0 при [pic], при n<0 промежутки

знакопостоянства меняются местами . Таким образом , в случае падения из

менее оптически плотной среды в более плотную сдвиг фаз на[pic] в

отраженной p-волне наблюдается при [pic] , а в случае падения из более

плотной в менее плотную - при[pic].

В случае отраженной s-волны [pic] , эта функция меньше 0 при [pic] и

больше 0 в противном случае. Таким образом , сдвиг фаз на[pic] в

отраженной s-волне наблюдается при падении из менее оптически плотной

среды в более плотную , и не наблюдается при падении из более плотной

среды в менее плотную.

В случае произвольно падающей линейно поляризованной волны , которая

представляется в виде суммы p и s-волн , в отраженной волне , таким

образом , можно получить , в общем случае волну произвольной

(эллиптической) поляризации .

Для исследования сдвига фаз в прошедшей волне , воспользуемся

соотношениями , возникшими как промежуточные результаты при выводе (7)

и (10) :

[pic] и [pic]

из этих соотношений видно , что , поскольку [pic] и [pic] , то всегда

[pic]и [pic] . То есть , в прошедшей волне изменения фазы не происходит

(причем это верно для волн произвольной поляризации).

Дополнительная литература:

Cивухин Д.В. “Общий курс физики. Оптика” , Москва , “Наука”,1985г.

Савельев И.В. “Курс общей физики” , том 2 , Москва , “Наука” , 1979г.

-----------------------

[1] -здесь под n понимается показатель преломления той среды , куда падает

луч относительно той , откуда он падает , в оптике в этом случае под n

понимают показатель преломления оптически более плотной среды относительно

оптически менее плотной , т.е. в этом случае в этой формуле стоит [pic]

[2]-- числитель также не может обращаться в бесконечность , поскольку это

возможно только в случае [pic] , но в этом случае [pic] , а это невозможно

т.к. [pic] и [pic]


No Image
No Image No Image No Image


No Image
Все права защищены © 2010
No Image